Algebra lineare Esempi

$x - [\begin{array}{c} 0 & 1 & 5 & - 6 \\ 5 & 8 & 7 & - 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 & 6 \\ - 8 & - 4 & - 2 & - 3 \end{array}]$

Passaggio 1

La trasformazione definisce una mappa da $ℝ^{2}$ a $ℝ^{2}$ . Per dimostrare che la trasformazione è lineare, deve conservare la moltiplicazione e l'addizione scalari e il vettore zero.

x: $ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Passaggio 2

Per prima cosa dimostra che la trasformazione conserva questa proprietà.

$x (x + y) = x (x) + x (y)$

Passaggio 3

Imposta due matrici per verificare che la proprietà di addizione venga mantenuta per $x$ .

$x ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Passaggio 4

Somma le due matrici.

$x [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Passaggio 5

Applica la trasformazione al vettore.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 1 \\ - 8 \end{array}]$

Passaggio 6

Suddividi il risultato in due matrici raggruppando le variabili.

$x (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 7

Poiché le proprietà additive della trasformazione non vengono rispettate, non si tratta di una trasformazione lineare.

$x (x + y) \neq x (x) + x (y)$